Matematica discreta Esempi

$10 ({1.05}^{x}) = 11 ({1.04}^{x})$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (10 \cdot {1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (10 \cdot {1.05}^{x})$ come $\ln (10) + \ln ({1.05}^{x})$ .

$\ln (10) + \ln ({1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({1.05}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Passaggio 3

Espandi il lato destro.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\ln (11 \cdot {1.04}^{x})$ come $\ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$ .

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln ({1.04}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Passaggio 4

Riordina $\ln (10)$ e $x \ln (1.05)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Passaggio 5

Riordina $\ln (11)$ e $x \ln (1.04)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = x \ln (1.04) + \ln (11)$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (1.05) + \ln (10) - x \ln (1.04) - \ln (11) = 0$

Passaggio 7

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) + \ln (\frac{10}{11}) = 0$

Passaggio 8

Sottrai $\ln (\frac{10}{11})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Passaggio 9

Scomponi $x$ da $x \ln (1.05) - x \ln (1.04)$ .

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Passaggio 9.1

Scomponi $x$ da $x \ln (1.05)$ .

$x (\ln (1.05)) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Passaggio 9.2

Scomponi $x$ da $- x \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Passaggio 9.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04))$ .

$x (\ln (1.05) - 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Passaggio 10

Riscrivi $- 1 \ln (1.04)$ come $- \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Passaggio 11

Dividi per $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ ciascun termine in $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ e semplifica.

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Passaggio 11.1

Dividi per $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ ciascun termine in $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ .

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

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Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Passaggio 11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Forma decimale:

$x = 9.95983778 \dots$